Парність і непарність

Деякі задачі легко розв’язуються, якщо помітити, що певна величина зберігає свою парність, а тому ситуація, коли ця величина має іншу парність, неможлива. У більшості задач цю величину треба сконструювати. При розв’язу-ванні таких задач часто використовують доведення від супротивного. Отже, трохи теорії.

Означення. Будь-яке число, яке можна подати, як суму двох однакових натуральних чисел, називають парним.

Парні числа позначають формулою m = 2n.

Парних чисел безліч.

Парні числа, закінчуються на цифри: 0, 2, 4, 6, 8.

Приклади. Такі числа є парними: 2, 4, 6, 8, 56,  78, 40.

Означення. Будь-яке число, яке не можна подати, як суму двох однакових натуральних чисел, називають непарним.

Непарні числа позначають формулою m = 2n - 1.

Приклади. Такі числа є непарними: 21, 43, 65, 87, 56,  781, 409.

Непарних чисел безліч.

Непарні числа, закінчуються на цифри: 1, 3, 5, 7, 9.

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

Звертаємо увагу ще на  одну цікаву властивість.

Сума  квадратів парної кількості непарних чисел є парною.

(2∙n -1)² + (2∙k-1)² + … + (2∙f-1)² + (2∙q-1)² = 2∙p    (парна кількість непарних доданків)

Сума  квадратів непарної кількості непарних чисел є парною.

(2∙n -1)² + (2∙k-1)² + … + (2∙f-1)² + (2∙q-1)² = 2∙p – 1  (непарна кількість непарних доданків)

Зокрема, сума двох квадратів натуральних чисел  може при ділені на 4 мати остачу  0, 1, 2, але не може мати остачу 3.

Приклади:  1² + 2²  = 4 + 1,    1² + 3²  = 4∙2 + 2,    2² + 2²  = 4∙2 + 0.

Варто запам’ятати, що  n² + k² ¹ 4∙m + 3.

Узагальнення попередніх фактів виглядає так:

Парність суми  довільних натуральних  степенів кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків:

якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

(2∙n)^z + (2∙k)ⁿ + … + (2∙f )^s + (2∙q)^t = 2∙p   (будь-яка кількість  доданків)

Зразки задач на парність та непарність.

1. На чудо-дереві ростуть банани і ананаси. За один раз дозволяється зірвати з неї два плоди. Якщо зірвати два банани або два ананаси, то виросте ще один ананас, а якщо зірвати один банан і один ананас, то виросте один банан. У результаті залишився один  плід. Який це плід, якщо відомо, скільки бананів і ананасів росло спочатку?

Розв’язання. Парність числа бананів не міняється, тому, якщо число бананів було парним, то плід, що залишився, –  ананас, якщо число бананів було непарним, то – банан.

2. У одній клітці квадратної таблиці 4x4  стоїть знак мінус, а в інших стоять плюси. Дозволяється одночасно міняти знак у всіх клітках, розташованих в одному рядку або в одному стовпці. Доведіть, що, скільки б ми не проводили таких змін знаку, нам не вдасться отримати таблицю з одних плюсів.

Розв’язання. Замінимо знак «+» на число 1 і знак «—» на число  – 1. Відмітимо, що добуток всіх чисел в таблиці не міняється при зміні знаку у всіх чисел стовпця або рядка. У початковому положенні цей добуток рівний - 1, а в таблиці з одних плюсів добуток рівний  +1, чим і доведена неможливість переходу.

3. На площині розташовані 2005 шестерень, з'єднані одна з одною у вигляді замкнутого ланцюжка. Чи можуть всі шестерні рухатися одночасно?
Розв’язання. Пронумеруємо всі шестерні в порядку обходу її вздовж ланцюжка числами від 1 до 2005. Припустимо, що перша шестерня рухається за годинниковою стрілкою. Тоді друга шестерня повинна рухатися проти годинникової стрілки, і т.д. Зрозуміло, що при цьому кожна шестерня з непарним номером змушена рухатися за годинниковою стрілкою. Але перша та 2005-а шестерні є сусідами і одночасно рухатися за годинниковою стрілкою не можуть. А тому й весь набір шестерень також не може рухатися одночасно.

4. Чи може кінь пройти з поля а1 шахівниці на поле h8, побувавши у дорозі на кожному з решти полів по одному разу?
Розв'язання. Для виконання задачі потрібно зробити 8*8-1=63 ходи.Але, при цьому, рухаючись за правилами шахової гри, він почергово ставатимена біле, або на чорне поле шахівниці. Оскільки поле а1 - чорне, то після кожного непарного ходу кінь займатиме білі поля. Отже, після 63-го ходу він не зможе опинитися на клітинців h8 чорного кольору.

5. Розставити замість * знаки + або - так, щоб одержати правильну рівність.
1*2*3*4*5*6*7*8*9=10.
Розв'язання. Оскільки у виразі зліва записана непарна кількість непарних чисел, то як би ми не розставляли знаки + чи -, значення цього виразу завжди буде непарним числом. А тому рівність виконуватись не може. 

6. Одним ударом Шварцнегер може розбити будь-який шматок бетону на 3 частини. Скільки ударів йому знадобитися, щоб розбити бетонну плиту  а) на 5 частин;  б) на 111 частин?

Розв’язання. Після кожного розбивання одного шматочка на 3 частини загальна кількість шматків збільшується на 2. Тому,  якщо виконано n розбивань, то кількість шматків має бути рівною 1+ 2n. Таким чином, 1+2n = 5, звідси n = 2, тобто два удари треба, щоб мати 5 кусків, а якщо 1+2n =111, звідси n =55, тобто 55 ударів треба, щоб мати 111 кусків.

7. Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумеру­вав всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 25 аркушів і додав всі 50 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?

 Відповідь: ні, не могло.  Вказівка. На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 25 непарних чисел непарна.

8. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює нулю.

Вказівка. Серед цих чисел – парне число "мінус одиниць", а для того, щоб сума дорівнювала нулю, їх має бути рівно 11.

9. На дошці записані числа 1,2, 3..., 2005. Дозволяється витернти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Після 2004 таких кроків залишиться одне число. Чи може воно дорівнювати 0?

Розв'язання. Оскільки числа a_p+a_k та | a_p-a_k|однакової парності, то парність суми, після кожного витирання не змінюється. Але спочатку ця сума дорівнювала 1+2+3+...+2005=(1+2004)+(2+2003)+...+(1002+1003)+2005=1003*2005, тобто непарне число. Тому єдине число, яке залишиться теж повинне бути непарне, а отже, не може бути 0.

10. У банці лежать білі і чорні зернятка. Навмання виймають два з них. Якщо вони одного кольору, то замість них у банку кладуть чорне зернятко. Якщо ж різного кольору, то чорне зернятко забирають, а біле кладуть назад до банки. Врешті-решт у банці залишається одне зернятко. Якого воно кольору, якщо спочатку у банці було 100 зернят. 

Розв'язання. Після кожного кроку число білиїх зернят або не змінюється, або зменшується на 2. Тому залишитися може лише чорне зернятко.

11. На прямій узяли декілька точок. Потім між кожними сусідніми вставили ще по одній точці. Так повторили декілька раз. Чи могли всього одержати а) 2004 точки;  б) 2005 точок.

Розв'язання. Якщо спочатку була непарна кількість точок, то після кожного вставляння точок додається парна кількість, і точок все одно залишається непарна кількість У цьому випадку 2004 точки бути не може, а 2005 - може. 

 Якщо ж спочатку була парна кількість точок, то після кожного вставляння точок додається непарна кількість, і точок все одно залишається непарна кількість У цьому випадку 2004 точки бути не може, а 2005 - може.

12. Чи можна у записі 1*2*3*..*1997=1*9*9*7 розставити замість * знаки + або - так, щоб оджержати правильну рівність?

Розв'язання. Зліва непарна кількість чисел, тому як би ми не розставляли + чи - значення отримаємо непарне. Справа 4 непарних числа, тому їх значення при розставлянні + чи - завжди буде парне. Тому неможна розставити знаки + чи - так, щоб отримати правильну рівність.

13. При яких n число n²+n+1 ділиться на 2004.

Розв'язання. n²+n+1=n(n+1)+1. Оскільки n(n+1) - парне, як добуток двох послідовних чисел, то n(n+1)+1 - непарне, а тому не ділиться на 2004.

ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ОПРАЦЮВАННЯ,

1. На олімпіаді деякі учасники привіталися між собою. Доведіть, що кількість учасників, що зробили непарне число привітань є парна

2. Із 28 плиток доміно забрали всі доміно з одиницями. Чи вдасться з решти плиток викласти згідно правил гри у а) замкнутий ланцюг; б) незамкнутий ланцюг?

Відповідь. Ні. Врахуйте, що після вилучення без пари залишається шість плиток.

3. Чи можна числа 1, 2, 3, ..., 33 розбити на 11 груп так, щоб у кожній групі одне число дорівнювало сумі двох інших.

Відповідь. Ні. Припустивши протилежне, порахуйте суму всіх чисел таблиці двома способами.

4. Чи можна покрити шахматну дошку доміношками розмі­ром 1x2 так, щоб вільними залишились тільки клітинки а1 і, h8?

Відповідь: не можна. Кожна доміношка покриває одне чорне і одне біле поле, а при викиданні полів а1 і h8 чорних полів залишається на 2 менше, ніж білих.

5. До 17-цифрового числа додали число, яке записано тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра суми, що отримана, є парною.

Вказівка. Розгляньте два випадки: сума першої і останньої цифр числа менш 10, і сума першої і останньої цифр числа не менш 10. Якщо припустити, що всі цифри суми непарні, то в першому випадку не може бути жодного переносу в розрядах (що, очевидно, приводить до суперечності), а в другому випадку наявність переносу при русі справа наліво або зліва направо чергується з відсутністю переносу, внаслідок чого ми одержимо, що цифра суми в дев'ятому розряді обов'язково парна.

6. В народній дружині є 100 чоловік, і кожного вечора троє з них йдуть чергувати.   Чи може після деякого часу виявитися, що кожен чергував з кожним рівно один раз?

Відповідь: ні, не може. Бо в кожному чергуванні, в якому бере участь дана людина, вона чергує з двома іншими, отже, всіх інших можна розбити на пари. Проте 99 — непарне число.

7.  На прямій відмічено 45 точок, що лежать зовні відрізка АВ. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки А не дорівнює сумі відстаней від цих точок до точки В.

Вказівка. Для будь-якої точки X, що лежить поза АВ, маємо АХ-ВХ= ±АВ. Якщо припустити, що суми відстаней рівні, то МИ отримаємо, що вираз ±АВ ± АВ ± … ± АВ, в якому 45 доданків, дорівнює нулю. Але це неможливо..

8. По колу розставлено 9 чисел – 4 одиниці і 5 нулів. Кожну секунду над числами роблять таку операцію: між сусідніми числами ставлять нуль, якщо вони різні, та одиницю, якщо вони рівні. Чи можуть усі числа через деякий час стати рівними?

Вказівка. Зрозуміло, що комбінація з дев'яти одиниць раніше, ніж з дев'яти нулів, утворитися не може.   Якщо ж утворилося дев'ять нулів,   то в попередньому ході нулі і одиниці повинні були чергуватися,  не можливо, бо їх всього непарна кількість.

9. 25 хлопчиків і 25 дівчаток сидять за круглим столом. До­ведіть, що у когось із них обидва сусіди –хлопці.

10. Равлик повзе по площині із сталою швидкістю і кожні 10 хвилин повертає під прямим кутом. Доведіть, що повернутись до початкової точки він зможе лише після цілого числа годин.

Доведення. Зрозуміло, що кількість а дільниць, на яких равлик повз угору або вниз, рівна кількості дільниць, на яких він повз вправо або вліво. Залишилось тільки зауважити, що а – парне.