Рівняння в цілих числах - це алгебраїчні рівняння з двома, або більше невідомими змінними та цілими коефіцієнтами. Розв'язком такого рівняння є всі цілочисленні або раціональні набори невідомих змінних, що задовольняють це рівняння. Такі рівняння називають діофантовими на честь давньогрецького вченого Діофанта Александрійського, який дослідив деякі їх типи ще до нашої ери.
Розглянемо деякі приклади розв'язування діофантових рівнянь.
1. Розв'язати в цілих числах 7х-13у=6.
Розв'язання. Запишемо рівняння 7х-13у=6 (1) у вигляді (6х-12у)+(х-у)=6.
Перший доданок ділиться на 6, сума ділиться на 6, отже і другий доданок ділиться на 6.
Тому (х-у)=6n.
x=6n+y. (2). Підставимо в (1), маємо
42n+7y-13y=6;
42n-6=6y;
y=7n-1.
x=6n+7n-1=13n-1
Відповідь. (13n-1; 7n-1), де n є Z
2. Розв'язати в цілих числах 5х+7у=19.
Розв'язання. Доберемо спочатку якийсь конкретний розв'язок рівняння. Наприклад х0=1, у0=2.
Тоді 5х0+7у0 =19, звідки 5(х-х0 )+7(у-у0 )=0, 5(х-х0 )= - 7(у-у0 ). Оскільки числа 5 і 7 взаємно прості, то х-х0 =7k, у-у0 = - 5k.
Отже, загальний розв'язок x=1+7k, y=2-5k, де k є Z.
Відповідь x=1+7k, y=2-5k, де k є Z.
3. Розв'язати в цілих числах 6х+4у=11.
Розв'язання. Оскільки за будь-яких значень цілих чисел х і у ліва частина ділиться на 2, а права є непарним числом, то рівняння розв'язку у цілих числах не має.
Відповідь немає розв'язку.
4. Чи існують натуральні числа х, у, які задовольняють рівняння x3-x=3y2+2003 ?
Розв'язання. x3-x=(x-1)∙x∙(x+1). Отже, при цілих х ліва частина рівняння ділиться на 3 - як добуток трьох послідовних чисел. Але 3y2+2003 при всіх цілих у при діленні на 3 дає остачу2. Тому задане рівняння не має розв'язків у натуральних числах.
Відповідь немає розв'язку.
5. Знайти всі цілі числа х, у що є розв'язками x2-4y2=1997.
Розв'язання. Запишемо задане рівняння у вигляді (х-2у)(х+2у)=1997. Оскільки 1997 - просте число, то розглядуємо такі випадки;
1) х-2у=1 і х+2у=1997, З нього відповідно х=999, у=499;
2) х-2у=1997 і х+2у=1. З нього відповідно х=999, у=-499;
3) х-2у=-1 і х+2у=-1997. З нього відповідно х=-999, у=-499;
4) х-2у=-1997 і х+2у=-1. З нього відповідно х=-999, у=499;
Відповідь (999;499); (999;-499); (-999;-499); (-999;499)
1. (2х+у)(5х+3у)=7;
2. 13х-16у=7;
3. 7х+19у=35
Розглянемо деякі приклади розв'язування діофантових рівнянь.
1. Розв'язати в цілих числах 7х-13у=6.
Розв'язання. Запишемо рівняння 7х-13у=6 (1) у вигляді (6х-12у)+(х-у)=6.
Перший доданок ділиться на 6, сума ділиться на 6, отже і другий доданок ділиться на 6.
Тому (х-у)=6n.
x=6n+y. (2). Підставимо в (1), маємо
42n+7y-13y=6;
42n-6=6y;
y=7n-1.
x=6n+7n-1=13n-1
Відповідь. (13n-1; 7n-1), де n є Z
2. Розв'язати в цілих числах 5х+7у=19.
Розв'язання. Доберемо спочатку якийсь конкретний розв'язок рівняння. Наприклад х0=1, у0=2.
Тоді 5х0+7у0 =19, звідки 5(х-х0 )+7(у-у0 )=0, 5(х-х0 )= - 7(у-у0 ). Оскільки числа 5 і 7 взаємно прості, то х-х0 =7k, у-у0 = - 5k.
Отже, загальний розв'язок x=1+7k, y=2-5k, де k є Z.
Відповідь x=1+7k, y=2-5k, де k є Z.
3. Розв'язати в цілих числах 6х+4у=11.
Розв'язання. Оскільки за будь-яких значень цілих чисел х і у ліва частина ділиться на 2, а права є непарним числом, то рівняння розв'язку у цілих числах не має.
Відповідь немає розв'язку.
4. Чи існують натуральні числа х, у, які задовольняють рівняння x3-x=3y2+2003 ?
Розв'язання. x3-x=(x-1)∙x∙(x+1). Отже, при цілих х ліва частина рівняння ділиться на 3 - як добуток трьох послідовних чисел. Але 3y2+2003 при всіх цілих у при діленні на 3 дає остачу2. Тому задане рівняння не має розв'язків у натуральних числах.
Відповідь немає розв'язку.
5. Знайти всі цілі числа х, у що є розв'язками x2-4y2=1997.
Розв'язання. Запишемо задане рівняння у вигляді (х-2у)(х+2у)=1997. Оскільки 1997 - просте число, то розглядуємо такі випадки;
1) х-2у=1 і х+2у=1997, З нього відповідно х=999, у=499;
2) х-2у=1997 і х+2у=1. З нього відповідно х=999, у=-499;
3) х-2у=-1 і х+2у=-1997. З нього відповідно х=-999, у=-499;
4) х-2у=-1997 і х+2у=-1. З нього відповідно х=-999, у=499;
Відповідь (999;499); (999;-499); (-999;-499); (-999;499)
1. (2х+у)(5х+3у)=7;
2. 13х-16у=7;
3. 7х+19у=35
Комментариев нет:
Отправить комментарий