Олімпіадні завдання минулих років

1.     Завдання ІІ (міського) етапу олімпіади у 2016 році

       1.Позначимо через S(x) суму цифр натурального числа x. Знайти всі такі натуральні числа  n для яких  S(n)+S(n+1)+S(n+2)=20162017

      Вказівка до розв’язання

     Сума трьох послідовних цілих чисел ділиться на 3, а остачі від ділення на 3 натурального числа і суми його цифр однакові, тому S(n)+S(n+1)+S(n+2) ділиться на 3. Але 210162017 на 3 не ділиться, отже таких n не існує.

2. У середині тупого кута АОВ провели три промені ОС, ОD і ОЕ, причому OC перпендикулярна OA, ОD – бісектриса кута АОВ і ОЕ – бісектриса кута ВОС. Знайдіть величину кута DОЕ.

     Вказівка до розв’язання

       Нескладно переконатися, що промені розташовані в такому порядку: ОА, ОD, ОС, ОЕ, ОВ. Якщо кут OAB=2a, то кут BOD=a, кут BOE=a - 45º,  а тому кут DOE=кут BOD-кут BOE=45º.   

Відповідь. 45º.

          3. Морська вода містить 5% солі. Скільки прісної води потрібно долити до 30 кг морської, щоб концентрація солі зменшилася на 70%?

         Вказівка до розв’язання

           У 30 морської води 30*0,05=1,5 кг солі. Щоб концентрація солі зменшилася на 70% вона повинна стати: 5%*0,3=1,5 %. Тобто загальна маса води буде: 1,5: 0,015=100 кг. Потрібно долити 70 кг прісної води.

  

.         4. Є 40 зовні однакових монет, серед яких 2 фальшиві, причому вони легші від справжніх і важать однаково. Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир відібрати 20 справжніх монет?

  

             Вказівка до розв’язання

              Розіб‘ємо монети на три купки: А, В і С, що містять по 10, 10 і 20 монет відповідно. Перше зважування: порівняємо вагу А і В. Можливі два випадки. Якщо А=В, то порівнюємо вагу А+В  і С  і оберемо ті, які важчі.  Якщо A>B (другий випадок аналогічний), то розіб‘ємо С на дві купки по 10 монет і порівняємо їхню вагу, оберемо два важчі десятки.

     5. Петрик вибрав три різні цифри a, b, c (a≠b, b≠c, c≠a)  і записав усі можливі різні тризначні натуральні числа, десятковий запис кожного з котрих містить усі три вибрані цифри, але не може починатися з нуля. З‘ясувалося, що сума всіх записаних чисел дорівнює 3376. Визначте, які саме цифри були вибрані, і доведіть, що інших варіантів немає.

               Вказівка до розв’язання. Розглянемо спочатку випадок, коли серед обраних цифр немає нуля. Тоді має бути записано шість попарно різних тризначних чисел: abc, acb, bac, bca, cab,cba.  Сума цих чисел становить 222(a+b+c), що неможливо, оскільки 3376 не ділиться без остачі на 222. Отже, серед обраних цифр має бути нуль. Нехай с=0 і записані числа мають вигляд ab0, a0b, ba0, b0a. Їхня сума дорівнює 211(a+b).  Тоді 211(a+b)=3376,  тобто a+b=16 Оскільки цифри a і b мають бути різними, то цими цифрами є 7 і 9.

      Відповідь: було обрано цифри 0, 7 і 9. 
        Завдання ІІ (міського) етапу олімпіади у 2015 році

    
       1. Обчисліть значення виразу:

Розв'язання

Кожний з доданків можна подати у вигляді різниці двох дробів із чисельниками  1, а знаменниками – послідовними натуральними числами від 2 до 2015:

1.     2.   Кути КОМ та МОР – суміжні. Промінь ОА – бісектриса кута КОМ, а промінь ОС проходить між сторонами кута МОР. Доведіть, що промінь ОС є бісектрисою кута МОР, якщо кут АОС прямий.

Розв’язання

         

Нехай кут ∠КОМ =α, тоді ∠МОР =180° - α, оскільки ці кути суміжні. ОМ – бісектриса ∠КОМ, тоді ∠АОМ= 0,5 α. Якщо ∠АОС=90°, то ∠МОС= 90°-0,5 α. Промінь ОС проходить між сторонами кута МОР, отже ∠МОС+∠РОС=∠МОР, ∠РОС=∠МОР-∠МОС, ∠РОС= 180° - α – (90°-0,5 α)= 180° - α - 90°+0,5 α= 90°-0,5 α =∠МОС. Оскільки ∠РОС=∠МОС, то ОС – бісектриса.

1.      3,  Перша зліва цифра шестизначного числа – 1. Якщо цю цифру переставити на останнє місце, то отримаємо число, що утричі більше за попереднє. Знайдіть початкове число.

Розв’язання

Нехай шукане число: 1abcde. За умовою задачі маємо: abcde1=3∙1abcde

.

Якщо abcde=х, то маємо рівняння: 10х+1=3(10000+х). Звідки х = 42857.

Відповідь: 42857

4. Туристи  виїхали гірською дорогою на велосипедну прогулянку о 7.00 . Рухаючись без зупинок, по рівнинних ділянках вони їхали зі швидкістю 20км/год, вгору – 15 км/год, а вниз – 30км/год. О котрій годині вони повернулися, якщо подолали в один бік відстань 40 км?

Розв’язання

Нехай шлях, що туристи проїхали рівнинною ділянкою, позначений - S₁  , вгору -  S₂, вниз - S₃,. Тоді час, витрачений туристами на весь шлях задаватиметься виразом:

Відповідь: 4 год

 5.       Смужку паперу розірвали на 16 частин, потім одну з частинок розірвали ще на 16 частин, потім продовжили такуж операцію далі. Чи може на деякому етапі загальна сума шматочків паперу дорівнювати 2015?

Розв’язання

Якщо позначити кількість операцій буквою n, то на  n+1 кроці шматочків паперу буде 16+15 n, оскільки при розриванні одного шматочку на 16 до загальної суми додається 15 нових шматочків. Тоді спробуємо знайти натуральний розв’язок рівняння: 16+15 n=2015, 15 n=2015-16, 15 n=1999,

 n=1999/15 – не є натуральним числом. Отже в результаті таких операцій не можна отримати 2015 шматочків паперу.

Відповідь: ні