Пропоную розв'язати подані нижче вправи. Спробуйте завдання розв'язати самостійно. Перевірте своє розв'язання, звіривши відповідь. У кінці сторінки знайдете розв'язання до задач.
Вправа 1.
Розв'язати рівняння: | |4|x| - 3| - 2| = 3
Відповідь. х=-2, х=2
Вправа 2.
Сьогодні неділя. Марічка почаа читати книжку, у якій 290 сторінок. Вона читає 4 сторінки щодня, крім неділі, коли вона перечитує 25 сторінок. Марічка читає кожного дня. За скільки днів вона прочитає книжку?
Відповідь. 41 день
Вправа 3.
Є сім зовні однакових монет, серед яких п'ять справжніх (усі однакової маси) і дві фальшиві (однакової маси, але легші за справжні). Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир виділити три справжні монети?
Вправа 4.
Зібрали 100 кг грибів. Їх вологість 99%. За день гриби підсохли і їх вологість стала 98%.Яка стала вага грибів?
Відповідь. 50 кг
Вправа 5.
Дехто підійшов до клітки, у якій є кролі і фазани. Спочатку він порахував голови, їх було 15. Потім перерахував ноги. Їх було 42. Скільки кролів таскільки фазанів сиділо в клітці?
Відповідь. 6 кролів, 9 фазанів.
Вправа 6.
При яких натуральних значеннях n значення дробу (3n-4):n є число натуральне?
Відповідь. при n=2, n=4
Вправа 7.
Чи можна в таблицю 5х5 записати числа 1, 2, 3, ..., 25 так, щоб сума деяких вписаних чисел у кожному рядку дорівнював сумі решти в цьому рядку.
Відповідь. Не можна
Вправа 8.
Уздовж дороги розташовано 5 сіл А, В, С, Д, Е. Чи можна визначити скільки всього будинків у цих селах, якщо в А і В разом 13 будинків, в В і С разом 31 будинок, в С і Е - 17 будинків, в Е і Д - 23 будинків, а в А і Д - 23 будинки.
Відповідь. Не можна
Вправа 9.
Чи може число, у десятковому записі якого використовуються лише одиниці ділитися на 2001.
Відповідь. Може
Вправа 10.
Знайти всі натуральні n, при яких значення дробу (3n+15):3n є число натуральне?
Відповідь. n=1, n=5.
Вправа 11. Чи можна натуральні числа від 1 до 32 розбити на три групи так, щоби добутки чисел кожної групи були рівними.
Вправа 12. Відомо, що натуральні числа m, n такі, що значення виразу 10m+n ділиться націло на 11. Доведіть, що значення виразу (10m+n)(10n+m) ділиться на 121.
Вправа 13. Доведіть, що коли a+3b=2, то a3+27b3=8 – 18ab.
Вправа 14. Доведіть, що коли 2a–b=1, то 8a3–b3=6ab+1.
Вправа 15. Відомо, що числа х і у такі, що х3–у2=2. Знайдіть значення виразу х9–6х3у2–у6.
Вправа 16. Відомо, що числа х і у такі, що х2+у2=1. Знайдіть значення виразу х6+3х2у2+у6.
Вправа 17. Доведіть, що сума кубів двох послідовних натуральних чисел, жодне з яких не кратне 3 ділиться націло на 9.
Вправа 18. Доведіть, що сума кубів двох послідовних непарних натуральних чисел ділиться націло на 4.
Вправа 1.
Розв'язати рівняння: | |4|x| - 3| - 2| = 3
Відповідь. х=-2, х=2
Вправа 2.
Сьогодні неділя. Марічка почаа читати книжку, у якій 290 сторінок. Вона читає 4 сторінки щодня, крім неділі, коли вона перечитує 25 сторінок. Марічка читає кожного дня. За скільки днів вона прочитає книжку?
Відповідь. 41 день
Вправа 3.
Є сім зовні однакових монет, серед яких п'ять справжніх (усі однакової маси) і дві фальшиві (однакової маси, але легші за справжні). Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир виділити три справжні монети?
Вправа 4.
Зібрали 100 кг грибів. Їх вологість 99%. За день гриби підсохли і їх вологість стала 98%.Яка стала вага грибів?
Відповідь. 50 кг
Вправа 5.
Дехто підійшов до клітки, у якій є кролі і фазани. Спочатку він порахував голови, їх було 15. Потім перерахував ноги. Їх було 42. Скільки кролів таскільки фазанів сиділо в клітці?
Відповідь. 6 кролів, 9 фазанів.
Вправа 6.
При яких натуральних значеннях n значення дробу (3n-4):n є число натуральне?
Відповідь. при n=2, n=4
Вправа 7.
Чи можна в таблицю 5х5 записати числа 1, 2, 3, ..., 25 так, щоб сума деяких вписаних чисел у кожному рядку дорівнював сумі решти в цьому рядку.
Відповідь. Не можна
Вправа 8.
Уздовж дороги розташовано 5 сіл А, В, С, Д, Е. Чи можна визначити скільки всього будинків у цих селах, якщо в А і В разом 13 будинків, в В і С разом 31 будинок, в С і Е - 17 будинків, в Е і Д - 23 будинків, а в А і Д - 23 будинки.
Відповідь. Не можна
Вправа 9.
Чи може число, у десятковому записі якого використовуються лише одиниці ділитися на 2001.
Відповідь. Може
Вправа 10.
Знайти всі натуральні n, при яких значення дробу (3n+15):3n є число натуральне?
Відповідь. n=1, n=5.
Вправа 11. Чи можна натуральні числа від 1 до 32 розбити на три групи так, щоби добутки чисел кожної групи були рівними.
Вправа 12. Відомо, що натуральні числа m, n такі, що значення виразу 10m+n ділиться націло на 11. Доведіть, що значення виразу (10m+n)(10n+m) ділиться на 121.
Вправа 13. Доведіть, що коли a+3b=2, то a3+27b3=8 – 18ab.
Вправа 14. Доведіть, що коли 2a–b=1, то 8a3–b3=6ab+1.
Вправа 15. Відомо, що числа х і у такі, що х3–у2=2. Знайдіть значення виразу х9–6х3у2–у6.
Вправа 16. Відомо, що числа х і у такі, що х2+у2=1. Знайдіть значення виразу х6+3х2у2+у6.
Вправа 17. Доведіть, що сума кубів двох послідовних натуральних чисел, жодне з яких не кратне 3 ділиться націло на 9.
Вправа 18. Доведіть, що сума кубів двох послідовних непарних натуральних чисел ділиться націло на 4.
РОЗВ'ЯЗАННЯ ДО ВПРАВ
Вправа 1.
Розв'язання. |4|x| - 3| - 2 = 3
|4|x| - 3| = 3+2
|4|x| - 3| = 5
4|x| - 3 = 5 або 4|x| - 3 = -5
4|x| = 8 4|x| = -5+3
|x| = 8:4 4|x| = -2
|x| = 2 |x| = -0,5
х=2 або х=-2 розв'язку немає
Відповідь. х=2, х=-2
Вправа 2.
Розв'язання. За тиждень Марічка читає 6*4+25=49 сторінок. За 6 тижнів вона б прочитала 49*6=294 сторінки. Книжку Марічка закінчить на один день раніше. На 6*7 - 1 = 41 день
Відповідь. 41 день
Вправа 3. Занумеруємо монети числами 1, 2, 3, 4, ...,7 Першим зважуванням порівняємо монети 1, 2, 3 з монетами 4, 5, 6. Якщо маси рівні, то в кожній трійці по одній фальшивій монеті., а монета 7 - справжня. Тоді наступним зважуванням порівняємо монети 1 і 2. . Якщо їх маса однакова, то вони справажні, а якщо ж ні , то важча з монет 1, 2 монета 3 і монета 7 - справжні/ Якщо ж під час першого - початкового - зважування переважила одна з груп, то всі її монети справжні.
Вправа 4. Сухої речовини у грибах 100%-99%=1%, вага - 1 кг. Так як вологість на другий день стала 98%, то сухої речовини стало 2%, але це 1 кг. Маємо 1 кг - 2%
х кг - 100%
х= 100*1:2=50 кг
Відповідь. 50 кг
Вправа 5. Якщо у клітці знаходяться лише фазани, то буде 2*15=30 ніг. За умовою, ніг - 42. Маємо 42 - 30 = 12, - це ноги кролів. Але у кожного кроля - 4 ноги, що на 2 більше, ніж у фазанів. Тому 12:2=6. Отже, Кролів 6, фазанів 9.
Відповідь. 6 і 9
Вправа 6. (3n-4):n=3n:n-4:n=3-4:n. Очевидно, що натуральне значення отримаємо, якщо n - дільник числа 4. Тому n=2, n=4.
Вправа 7.
Не може, бо тоді сума чисел у кожному рядку і в усій таблиці була б парною. Однак 1+2+3+...+25=325 - непарне число
Вправа 8.
Задача не має розв'язків. Дійсно за умовою у селі В будинків менш ніж 13, а у селі С не менш ніж 18 будинків. Але це неможливо, так як за умовою у селах С і Е разом 18 будинків.
Вправа 9. Розглянемо 2002 чисел виду 1, 11, 111, ..., 11..1. Останнє з яких записане 2002-ма одиницями. Оскільки різних остач від ділення на 2001 є лише 200, то принаймні два з цих чисел при діленні на 2001 дають однакові остачі. Тому їх різниця, що має вигляд 11...100...0 ділиться на 2001. Але число 2001 не має своїми дільниками числа 2 і 5. Через це число 11...1 одержане з цієї різниці відкиданням нулів, ділитиметься на 2001.
Вправа 10. (3n+15):3n=3n:3n+15:3n. Отже, n=1, n=5
Вправа 4. Сухої речовини у грибах 100%-99%=1%, вага - 1 кг. Так як вологість на другий день стала 98%, то сухої речовини стало 2%, але це 1 кг. Маємо 1 кг - 2%
х кг - 100%
х= 100*1:2=50 кг
Відповідь. 50 кг
Вправа 5. Якщо у клітці знаходяться лише фазани, то буде 2*15=30 ніг. За умовою, ніг - 42. Маємо 42 - 30 = 12, - це ноги кролів. Але у кожного кроля - 4 ноги, що на 2 більше, ніж у фазанів. Тому 12:2=6. Отже, Кролів 6, фазанів 9.
Відповідь. 6 і 9
Вправа 6. (3n-4):n=3n:n-4:n=3-4:n. Очевидно, що натуральне значення отримаємо, якщо n - дільник числа 4. Тому n=2, n=4.
Вправа 7.
Не може, бо тоді сума чисел у кожному рядку і в усій таблиці була б парною. Однак 1+2+3+...+25=325 - непарне число
Вправа 8.
Задача не має розв'язків. Дійсно за умовою у селі В будинків менш ніж 13, а у селі С не менш ніж 18 будинків. Але це неможливо, так як за умовою у селах С і Е разом 18 будинків.
Вправа 9. Розглянемо 2002 чисел виду 1, 11, 111, ..., 11..1. Останнє з яких записане 2002-ма одиницями. Оскільки різних остач від ділення на 2001 є лише 200, то принаймні два з цих чисел при діленні на 2001 дають однакові остачі. Тому їх різниця, що має вигляд 11...100...0 ділиться на 2001. Але число 2001 не має своїми дільниками числа 2 і 5. Через це число 11...1 одержане з цієї різниці відкиданням нулів, ділитиметься на 2001.
Вправа 10. (3n+15):3n=3n:3n+15:3n. Отже, n=1, n=5
Вправа 11. Чи можна
натуральні числа від 1 до 32 розбити на три групи так, щоби добутки чисел
кожної групи були рівними.
Розв’язання.
Серед цих чисел
виберемо будь-яке просте число, кратному якому немає серед даних 32 чисел. Нехай
це число 29. Тоді 29 обов’язково попаде в одну із груп, тобто або в першу, або
в другу, або в третю. Тоді лише одна з цих груп ділиться на 29, а інші – не діляться
на 29. Отже розбити на три групи так, щоби добутки чисел кожної групи були
рівними неможна.
Відповідь. Неможна.
Вправа 12. Відомо, що
натуральні числа m, n
такі, що значення виразу 10m+n
ділиться націло на 11. Доведіть, що значення виразу (10m+n)(10n+m) ділиться на 121.
Розв’язання
(10m+n)(10n+m)=11(10n+m)=11(11n-n+11m-10m)=11((11n+11m)-(n+10m)). Оскільки 11n+11m
ділиться на 11, (n+10m)
ділиться на 11 за умовою, то і їх різниця ділиться на 11. 11∙11=121. Тобто
даний вираз ділиться на 121.
Вправа 13. Доведіть, що
коли a+3b=2, то a3+27b3=8
– 18ab.
Доведення. a3+27b3=(a+3b)(a2 – 3ab+9b2)=2(a2+6ab+9b2–9ab)=2((a–3b)2–9ab)=2(4–9ab)=8–18ab.
Вправа 14. Доведіть,
що коли 2a–b=1, то
8a3–b3=6ab+1. (Доведення
виконайте самостійно, за зразком попередньої вправи.)
Вправа 15. Відомо, що числа
х і у такі, що х3–у2=2.
Знайдіть значення виразу х9–6х3у2–у6.
Розв’язання.
Піднесемо до куба
праву і ліву частину відомої рівності.
(х3–у2)3=23,
х9–3х6у2+3х3у4–у6=8, х9–3х3у2(х3–у2)–у6=8, х9–3х3у22 – у6=8, х9–6х3у2 – у6=8.
Вправа 16. Відомо, що числа
х і у такі, що х2+у2=1. Знайдіть значення виразу х6+3х2у2+у6.
Розв’яжіть
самостійно за зразком попередньої вправи.
Вправа 17. Доведіть, що
сума кубів двох послідовних натуральних чисел, жодне з яких не кратне 3
ділиться націло на 9.
Доведення. 3а – ділиться
на 3. Тоді 3а–1 та 3а–2 два послідовних
натуральних числа, жодне з яких не ділиться на 3. Знайдемо різницю їх кубів.
(3а–1)3+(3а–2)3=(3а–1+3а–2)(9а2–6а+1–9а2+6а+3а–2+9а2–12а+4)=(6а–3)(9а2–9а+3)=3(2а–1)3(3а2–3а+1)=9(2а–1)(3а2–3а+1)
ділиться на 9.
Вправа 18. Доведіть, що
сума кубів двох послідовних непарних натуральних чисел ділиться націло на 4.
(Виконайте доведення за зразком попередньої вправи.)
Комментариев нет:
Отправить комментарий